Talsystemer #

Tal repræsenterer mængder eller ordinaler.

Eksempel på en summering:

Der findes kun en klub.

Eksempel på ordinaler:

Den 2. kommer efter den 1.

Repræsentation af tal med symboler kaldes talsystemer.

Hvert symbol i et tal kaldes et ciffer.

F.eks. består tallet 234 af ciffrene 2, 3 og 4.

Gennem tiden har man repræsenteret tal på mange forskellige måder:

Kardinaltalsystemer #

I et kardinaltalsystem har hvert ciffer den samme værdi, uanset hvor cifferet står i tallet.

At anvende kardinaltalsystemer er lidt ligesom at tælle på fingrene.

Kuglerammer #

En kugleramme 🧮 er et oldgammelt tælleapparat.

Kuglerammer er kardinaltalsystemer.

For eksempel kan røde kugler repræsentere tallet 1 og blå repræsentere tallet 2:

function kardinaltal(s) {
    return Array.from(s.matchAll('🔴')).length * 1
        + Array.from(s.matchAll('🔵')).length * 2;
}

console.assert(kardinaltal('🔴🔴🔴🔵') == 5);

Romertal #

Romertal er et kardinaltalsystem, som blev anvendt i Romerriget.

Ciffrene i romertalssystemet er bogstaverne ⅣⅩⅬⅭⅮⅯ, som svarer til tallene 1,5,10,50,100,500,1000.

I romertalsystemet findes værdien af et tal ved at summere ciffrene fra venstre mod højre ved hjælp af to regler: Hvis et ciffer har den samme eller en højere værdi end cifret til højre, lægges ciffret til summen. Hvis et ciffer har en lavere værdi end cifret til højre, trækkes ciffret fra summen.

Tallet ⅯⅭⅯⅬⅩⅣ er det samme som 1964.

Ordinaltalsystemer #

I et ordinaltalsystem er hvert ciffers værdi afhængig af placeringen i tallet.

Et ordinalt talsystem anvender et bestemt antal symboler, som hver repræsentere en mængde.

Antallet af forskellige symboler kaldes talsystemets grundtal.

Et ciffer i et ordinaltalsystem har en værdi baseret på cifrets placering i tallet.

Placeringen af et ciffer i et tal er dets nummer i rækkefølgen af tallets cifre. Man starter på 0 og tæller fra højre mod venstre.

Værdien af et ciffer i et ordinaltal er den mængde symbolet repræsenterer multipliceret med grundtallet opløftet til placeringen af cifret.

Hvis vi kalder grundtallet \(g\), cifferet for \(x\) og placeringen af cifret i tallet for \(i\), så udregnes værdien af cifret med formlen \(x * g^i\).

Eksempel #

Tallet 234 består af 3 cifre. Det første ciffer er 2 og repræsenterer tallet 200.

Binær #

I det binære talsystem findes der to symboler: 0 og 1.

Det binære talsystem har grundtallet 2.

Det binære talsystem er computerens sprog.

Et ciffer i et binært tal kaldes en bit (forkortelse for binary digit).

Inde i computeren findes information i fysisk form som elektrisk energi, som kan slukkes og tændes.

At der er tændt for den elektriske energi repræsenteres med et 1-tal og at der er slukket for den elektriske energi repræsenteres med et 0-tal.

Computerens kredsløb er opbygget med komponenter, som kan modelleres af det man kalder logiske konjunktioner og logiske disjunktioner, som er operationer på binære værdier.

Når man repræsenterer tal i sammenhæng med computersprog, så er det praktisk at anvende multipler af 2, som er det binære talsystems grundtal.

Oktaler #

Det oktale talsystem har grundtallet 8 og anvender 8 symboler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Decimaler #

Det decimale talsystem har grundtallet 10 og anvender 10 symboler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Vi er vant til at tælle i 10-talssystemet i vores del af verden.

Hexadecimaler #

Det hexadecimale talsystem har grundtallet 16.

Hexdecimaler anvender 16 symboler til at repræsentere tal.

Der findes ikke 16 tal i vores skriftsystem, så bogstaverne a, b, c, d, e og f tages til hjælp.

Eksempel #

Tallet f er lig med 15.

Tallet ff er lig med \((15 * 16^1) + (15 * 16^0)\).